Числовой коэффициент — как найти его для буквенно-числовых и буквенных выражений. Числовой коэффициент выражения: определение, примеры

«Числовой коэффициент », или просто «коэффициент » - термин, который подразумевает под собой одно и то же математическое понятие. Усвоить, в чем смысл термина, очень просто, а найти числовой коэффициент на конкретном примере еще легче. Но для начала разберемся с официальным определением.

Что называют математическим числовым коэффициентом?

Согласно учебнику математики, если выражение состоит из одного числа и нескольких буквенных обозначений, умноженных друг на друга, то данное число и будет коэффициентом всего выражения. При этом количество букв не имеет значения - число может быть умножено на одну букву, на две или сразу на пять, оно все равно остается коэффициентом.

Например, рассмотрим следующие выражения:

5*a. В этом примере присутствует одно число - «5» и одна буква «а», и они перемножены друг на друга. Соответственно, число «5» будет коэффициентом всего выражения.
7*b*c. Здесь мы видим выражение из одного числа и сразу двух буквенных обозначений. Но поскольку перемножение между ними сохраняется, то число «7» также остается коэффициентом.
6*9*a*b. В данном случае мы видим два буквенных обозначения - и целых два числа. Однако ситуации это не меняет, ведь принцип перемножения по-прежнему присутствует. Чтобы узнать коэффициент, нужно просто взять произведение «6» и «9», то есть «54», и переписать выражение как 54*a*b. Число «54» будет коэффициентом выражения.

Необходимо напомнить, что последнее правило распространяется и на выражения, где числовые обозначения стоят не друг рядом с другом, а разделены буквами. Например, 2*c*4*a - мы можем смело переписывать данное выражение в виде 2*4*с*а, потому что при умножении не имеет значения, в каком порядке стоят множители. И таким образом, коэффициент по-прежнему находится легко и просто - это будет число «8».

Не стоит теряться, если в задаче предлагается найти коэффициент для буквенного выражения без чисел - например, y*z. В данном случае всегда используется число «1» - поскольку выражение из примера можно записать в виде 1*y*z. Коэффициент находится в выражениях и с положительными, и с отрицательными множителями.

В каких случаях найти коэффициент для всего выражения нельзя?

Общий коэффициент не может быть найден, если предусмотрены другие действия, помимо умножения. Например, если взять 3*с + а, то число «3» будет коэффициентом лишь для одного из слагаемых, но никак не для всего выражения.

В математических описаниях используется термин «числовой коэффициент », в частности, при работе с буквенными выражениями и выражениями с переменными удобно использовать понятие числового коэффициента выражения. В этой статье мы дадим определение числового коэффициента выражения и разберем примеры его нахождения.

Навигация по странице.

Определение числового коэффициента, примеры

В учебнике Н. Я. Виленкина математика для 6 классов дается следующее определение числового коэффициента выражения .

Определение.

Если буквенное выражение является произведением одной или нескольких букв и одного числа, то это число называется числовым коэффициентом выражения .

К слову, числовой коэффициент часто называют просто коэффициентом.

Озвученное определение позволяет привести примеры числовых коэффициентов выражений . Для начала рассмотрим произведение числа 3 и буквы a вида 3·a . Число 3 - это числовой коэффициент этого выражения по определению. Другой пример: в произведении x·y·0,2·x·x·z единственным числовым множителем является 0,2 , она и является числовым коэффициентом этого выражения.

А теперь приведем контр пример. Число 3 не является числовым коэффициентом выражения 3·x+y , так как исходное выражение не является произведением. Зато это число 3 является числовым коэффициентом первого из слагаемых в исходном выражении.

А в произведении 5·a·2·b·3·c содержится не одно, а три числа. Для определения числового коэффициента этого выражения, его нужно преобразовать в произведение, содержащее единственный числовой множитель. Как это делается, мы разберемся в следующем пункте этой статьи, в этом заключается процесс .

Стоит отметить, что произведения одинаковых букв могут быть записаны в виде , поэтому определение числового коэффициента подходит и для выражений со степенями. Например, выражение 5·x 3 ·y·z 2 по сути является выражением вида 5·x·x·x·y·z·z , его коэффициентом по определению является число 5 .

Также нужно остановиться на числовых коэффициентах 1 и −1 . Их особенность заключается в том, что они почти никогда не записываются в явном виде. Если выражение представляет собой произведение нескольких букв (без числового множителя) и передним стоит знак плюс, или нет никакого знака, то числовым коэффициентом такого выражения считается число 1 . Если перед произведением нескольких букв стоит знак минус, то коэффициентом такого выражения считается число −1 . Например, числовой коэффициент выражения a·b равен единице (так как a·b можно записать как 1·a·b ), а числовой коэффициент выражения −x равен минус единице (так как −x тождественно равен выражению (−1)·x ).

В дальнейшем определение числового коэффициента расширяется с произведения числа и нескольких букв на произведение одного числа и нескольких буквенных выражений. Так, например, в произведении число −5 можно считать числовым коэффициентом. Аналогично, число 3 есть коэффициент выражения 3·(1+1/x)·x , а - коэффициент выражения .

Нахождение числового коэффициента выражения

Когда выражение представляет собой произведение с одним числовым множителем, этот множитель и является числовым коэффициентом. Когда выражение имеет другой вид, то нахождение его числового коэффициента подразумевает предварительное выполнение некоторых тождественных преобразований , с помощью которых исходное выражение приводится к произведению с одним числовым множителем.

Пример.

Найдите числовой коэффициент выражения −4·x·(−2) .

Решение.

Сгруппируем множители , являющиеся числами, после чего выполним их умножение: −4·x·(−2)=((−4)·(−2))·x=8·x . Теперь отчетливо виден искомый коэффициент, он равен 8 .

Коэффициент пропорциональности (линейный коэффициент пропорциональности) равен отношению двух соответствующих сторон подобных фигур. Подобные фигуры – это фигуры одинаковой формы, но разных размеров. Коэффициент пропорциональности используется для решения основных геометрических задач. Коэффициент пропорциональности можно использовать для вычисления длин неизвестных сторон. С другой стороны, по соответствующим сторонам можно вычислить коэффициент пропорциональности. Такие вычисления связаны с операцией умножения или с упрощением дробей.

Шаги

Вычисление коэффициента пропорциональности подобных фигур

Убедитесь, что фигуры подобны. У таких фигур все углы равны, а стороны соотносятся в некой пропорции. Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но одна фигура больше другой.

В задаче должно быть сказано, что фигуры подобны, или что у них равные углы, или что стороны пропорциональны, или что одна фигура пропорциональна другой.

Найдите соответствующие стороны обеих фигур. Возможно, понадобится повернуть или зеркально отразить одну из фигур, чтобы выровнять обе фигуры и определить соответствующие стороны. Как правило, в задачах даются длины соответствующих сторон; в противном случае измерьте их. Если не знать значений хотя бы пары соответствующих сторон, нельзя найти коэффициент пропорциональности.
- Например, дан треугольник, основание которого равно 15 см, и подобный треугольник с основанием, равным 10 см.
Запишите отношение. У каждой пары подобных фигур есть два коэффициента пропорциональности: один используется при увеличении размера, а другой – при уменьшении. Если размер меньшей фигуры увеличивается до размера большей фигуры, используйте отношение: коэффициент пропорциональности = (сторона большей фигуры)/(сторона меньшей фигуры). Если размер большей фигуры уменьшается до размера меньшей фигуры, используйте отношение: коэффициент пропорциональности = (сторона меньшей фигуры)/(сторона большей фигуры).
- Например, если треугольник с основанием 15 см уменьшается до треугольника с основанием 10 см, используйте отношение: коэффициент пропорциональности = (сторона меньшей фигуры)/(сторона большей фигуры).
  Подставив соответствующие значения, вы получите: коэффициент пропорциональности = .
Упростите отношение. Упрощенное отношение (дробь) является коэффициентом пропорциональности. При уменьшении размера коэффициент пропорциональности представляет собой правильную дробь. При увеличении размера коэффициент пропорциональности представляет собой целое число или неправильную дробь, которую можно преобразовать в десятичную дробь.
- Например, отношение 10 15 {\displaystyle {\frac {10}{15}}} упрощается до . Таким образом, коэффициент пропорциональности двух треугольников с основаниями 15 см и 10 см равен 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}} .
Вычисление сторон по коэффициенту пропорциональности
1. Найдите значения сторон фигуры. Значения сторон одной из подобных фигур будут даны; в противном случае измерьте их. Если стороны одной из подобных фигур неизвестны, нельзя вычислить стороны второй фигуры.
  - Например, дан прямоугольный треугольник, катеты которого равны 4 см и 3 см, а гипотенуза равна 5 см.
2. Выясните, будет ли подобная фигура больше или меньше данной. Если больше, стороны будут больше, а коэффициент пропорциональности представляет собой целое число, неправильную или десятичную дробь. Если подобная фигура меньше данной, стороны будут меньше, а коэффициент пропорциональности представляет собой правильную дробь.
  - Например, если коэффициент пропорциональности равен 2, подобная фигура больше данной.
3. Умножьте значение одной стороны на коэффициент пропорциональности. Коэффициент пропорциональности должен быть дан. Если умножить сторону на коэффициент пропорциональности, можно найти значение соответствующей стороны подобной фигуры.
  - Например, если гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см, а коэффициент пропорциональности равен 2, гипотенуза подобного треугольника вычисляется так: 5 × 2 = 10 {\displaystyle 5\times 2=10} . Таким образом, гипотенуза подобного треугольника равна 10 см.
4. Найдите значения остальных сторон подобной фигуры. Для этого умножьте известные значения сторон на коэффициент пропорциональности. Вы получите значения соответствующих сторон подобной фигуры.
  - Например, если основание прямоугольного треугольника равно 4 см, а коэффициент пропорциональности равен 2, основание подобного треугольника вычисляется так: 4 × 2 = 8 {\displaystyle 4\times 2=8} . Таким образом, основание подобного треугольника равно 8 см. Если катет прямоугольного треугольника равен 3 см, а коэффициент пропорциональности равен 2, катет подобного треугольника вычисляется так: 3 × 2 = 6 {\displaystyle 3\times 2=6} . Таким образом, катет подобного треугольника равен 6 см.
Примеры решения задач
1. Задача 1. Найдите коэффициент пропорциональности следующих подобных фигур: прямоугольник с шириной 6 см и прямоугольник с шириной 54 см.
  - Запишите отношение на основе двух значений ширины. При увеличении размера отношение запишется так: коэффициент пропорциональности = . При уменьшении размера отношение запишется так: коэффициент пропорциональности = .
  - Упростите отношение. Отношение 54 6 {\displaystyle {\frac {54}{6}}} упрощается до 9 1 = 9 {\displaystyle {\frac {9}{1}}=9} . Отношение 6 54 {\displaystyle {\frac {6}{54}}} упрощается до . Таким образом, коэффициент пропорциональности двух прямоугольников равен 9 {\displaystyle 9} или 1 9 {\displaystyle {\frac {1}{9}}} .
2. Задача 2. Сторона неправильного многоугольника равна 14 см. Сторона подобного многоугольника равна 8 см. Найдите коэффициент пропорциональности.

На данном уроке мы узнаем о таком понятии, как коэффициент. Также мы рассмотрим несколько задач, на примере которых сможем без труда находить коэффициенты различных выражений.

Это произведение: число 2 умножается на букву .

В таком произведении договорились число называть коэффициентом .

Коэффициент - это числовой множитель в произведении, где есть буква.

Например:

Поэтому коэффициент равен 4.

Поэтому коэффициент 1.

Поэтому коэффициент -1.

Поэтому коэффициент равен 5.

В математике договорились писать коэффициент в начале, поэтому:

Букв может быть несколько, но это не влияет на коэффициент. Например:

Коэффициент -17.

Коэффициент 46.

Если в произведении несколько числовых множителей, то такое выражение может быть упрощено:

Коэффициент в данном выражении - 100.

Числовой множитель в произведении, где есть хотя бы одна буква, называется коэффициентом.

Если чисел несколько, нужно их перемножить, упростить выражение и таким образом будет получен коэффициент.

В одном произведении есть только один коэффициент.

Если есть сумма, например, такая:

То у каждого слагаемого есть коэффициенты: и .

Если числа нет, то можно поставить единицу. Это и есть коэффициент.

, коэффициент 1.

Найти коэффициент: а) ; б) .

а) , коэффициент -50.

б) ,коэффициент .

Итак, коэффициент - это число, которое стоит в произведении с одной или несколькими переменными. Оно может быть целым или дробным, положительным или отрицательным.

При посадке картошки урожай получается в 10 раз больше, чем количество посаженной картошки. Каков будет урожай, если посадили 65 кг?

Решение

А если посажено 90 кг картошки?

А если неизвестно, сколько посажено? Как тогда решать в таком случае?

Если посадили кг, то урожай будет кг.

Итак, 10 - здесь коэффициент (назовем его урожайность), а - переменная. может принимать любые значения, а формула будет рассчитывать величину урожая.

Если урожайность другая, например 9, то формула выглядит так: .

Коэффициент в формуле изменился.

Если рассматривать разные урожайности, то формула по виду будет оставаться такой же, меняться будет только коэффициент.

Значит, можно записать общий вид всех таких формул.

Где - коэффициент; - переменная.

Это урожайность, она может быть равна, например, 10 или 9, как раньше, или другому числу.

Итак, как ответить на вопрос «какой коэффициент в записи ?»?

Если ничего не известно про эту запись, то и являются просто буквами, переменными. Коэффициент единица.

Если же известно, что это часть формулы для расчета урожая картофеля, тогда - это и есть коэффициент.

Иными словами, часто коэффициент может обозначаться буквой.

В математике, физике, других науках много формул, где одна из букв является коэффициентом.

Пример

Плотность вещества в физике обозначается буквой .

Чем больше плотность, тем больше весит один и тот же объем вещества.

Если знать объем вещества и его плотность, то найти массу легко по формуле:

Любой человек, который знаком с этой формулой, на вопрос «какой здесь коэффициент?» ответит «».

Коэффициент - это число в произведении, где есть одна или несколько переменных.

Есть договоренность писать коэффициент перед переменными.

Если числа в произведении нет, то можно поставить множитель 1, он и будет коэффициентом.

Если перед нами известная нам формула, то одна из букв вполне может быть коэффициентом.

Список литературы

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия, 2006.
Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - Просвещение, 1989.
Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс - ЗШ МИФИ, 2011.
Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - ЗШ МИФИ, 2011.
Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. - Просвещение, 1989.

Интернет портал «Uchportal.ru» ()
Интернет портал «Фестиваль педагогических идей» ()
Интернет портал «School-assistant.ru» ()

Домашнее задание