Системы рациональных неравенств вариант 1. Дробно-рациональные неравенства

Продолжаем разбирать способы решения неравенств, имеющих в составе одну переменную. Мы уже изучили линейные и квадратные неравенства, которые представляют из себя частные случаи рациональных неравенств. В этой статье мы уточним, неравенства какого типа относятся к рациональным, расскажем, на какие виды они делятся (целые и дробные). После этого покажем, как правильно их решать, приведем нужные алгоритмы и разберем конкретные задачи.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Понятие рациональных равенств

Когда в школе изучают тему решения неравенств, то сразу берут рациональные неравенства. На них приобретаются и оттачиваются навыки работы с этим видом выражений. Сформулируем определение данного понятия:

Определение 1

Рациональное неравенство представляет из себя такое неравенство с переменными, которое содержит в обоих частях рациональные выражения.

Отметим, что определение никак не затрагивает вопрос количества переменных, значит, их может быть сколь угодно много. Следовательно, возможны рациональные неравенства с 1 , 2 , 3 и более переменными. Чаще всего приходится иметь дело с выражениями, содержащими всего одну переменную, реже две, а неравенства с большим количеством переменных обычно в рамках школьного курса не рассматривают вовсе.

Таким образом, мы можем узнать рациональное неравенство, посмотрев на его запись. И с правой, и с левой стороны у него должны быть расположены рациональные выражения. Приведем примеры:

x > 4 x 3 + 2 · y ≤ 5 · (y − 1) · (x 2 + 1) 2 · x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 · x 2

А вот неравенство вида 5 + x + 1 < x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

Все рациональные неравенства делятся на целые и дробные.

Определение 2

Целое рациональное равенство состоит из целых рациональных выражений (в обеих частях).

Определение 3

Дробно рациональное равенство – это такое равенство, которое содержит дробное выражение в одной или обеих своих частях.

Например, неравенства вида 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 · 1 3 · x - 1 > 4 - x 4 и 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 являются дробно рациональными, а 0 , 5 · x ≤ 3 · (2 − 5 · y) и 1: x + 3 > 0 – целыми.

Мы разобрали, что из себя представляют рациональные неравенства, и выделили их основные типы. Можем переходить дальше, к обзору способов их решения.

Допустим, что нам требуется найти решения целого рационального неравенства r (x) < s (x) , которое включает в себя только одну переменную x . При этом r (x) и s (x) представляют собой любые целые рациональные числа или выражения, а знак неравенства может отличаться. Чтобы решить это задание, нам нужно преобразовать его и получить равносильное равенство.

Начнем с перенесения выражения из правой части в левую. Получим следующее:

вида r (x) − s (x) < 0 (≤ , > , ≥)

Мы знаем, что r (x) − s (x) будет целым значением, а любое целое выражение допустимо преобразовать в многочлен. Преобразуем r (x) − s (x) в h (x) . Это выражение будет тождественно равным многочленом. Учитывая, что у r (x) − s (x) и h (x) область допустимых значений x одинакова, мы можем перейти к неравенствам h (x) < 0 (≤ , > , ≥) , которое будет равносильно исходному.

Зачастую такого простого преобразования будет достаточно для решения неравенства, поскольку в итоге может получиться линейное или квадратное неравенство, значение которого вычислить несложно. Разберем такие задачи.

Пример 1

Условие: решите целое рациональное неравенство x · (x + 3) + 2 · x ≤ (x + 1) 2 + 1 .

Решение

Начнем с переноса выражения из правой части в левую с противоположным знаком.

x · (x + 3) + 2 · x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0

Теперь, когда мы выполнили все действия с многочленами слева, можно переходить к линейному неравенству 3 · x − 2 ≤ 0 , равносильному тому, что было дано в условии. Решить его несложно:

3 · x ≤ 2 x ≤ 2 3

Ответ: x ≤ 2 3 .

Пример 2

Условие: найдите решение неравенства (x 2 + 1) 2 − 3 · x 2 > (x 2 − x) · (x 2 + x) .

Решение

Переносим выражение из левой части в правую и выполняем дальнейшие преобразования с помощью формул сокращенного умножения.

(x 2 + 1) 2 − 3 · x 2 − (x 2 − x) · (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 · x 2 + 1 − 3 · x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0

В итоге наших преобразований мы получили неравенство, которое будет верным при любых значениях x , следовательно, решением исходного неравенства может быть любое действительное число.

Ответ: любое действительно число.

Пример 3

Условие: решите неравенство x + 6 + 2 · x 3 − 2 · x · (x 2 + x − 5) > 0 .

Решение

Из правой части мы ничего переносить не будем, поскольку там 0 . Начнем сразу с преобразования левой части в многочлен:

x + 6 + 2 · x 3 − 2 · x 3 − 2 · x 2 + 10 · x > 0 − 2 · x 2 + 11 · x + 6 > 0 .

Мы вывели квадратное неравенство, равносильное исходному, которое легко решить несколькими методами. Применим графический способ.

Начнем с вычисления корней квадратного трехчлена − 2 · x 2 + 11 · x + 6 :

D = 11 2 - 4 · (- 2) · 6 = 169 x 1 = - 11 + 169 2 · - 2 , x 2 = - 11 - 169 2 · - 2 x 1 = - 0 , 5 , x 2 = 6

Теперь на схеме отметим все необходимые нули. Поскольку старший коэффициент меньше нуля, ветви параболы на графике будут смотреть вниз.

Нам будет нужна область параболы, расположенная над осью абсцисс, поскольку в неравенстве у нас стоит знак > . Нужный интервал равен (− 0 , 5 , 6) , следовательно, эта область значений и будет нужным нам решением.

Ответ: (− 0 , 5 , 6) .

Бывают и более сложные случаи, когда слева получается многочлен третьей или более высокой степени. Чтобы решить такое неравенство, рекомендуется использовать метод интервалов. Сначала мы вычисляем все корни многочлена h (x) , что чаще всего делается с помощью разложения многочлена на множители.

Пример 4

Условие: вычислите (x 2 + 2) · (x + 4) < 14 − 9 · x .

Решение

Начнем, как всегда, с переноса выражения в левую часть, после чего нужно будет выполнить раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых.

(x 2 + 2) · (x + 4) − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0

В итоге преобразований у нас получилось равносильное исходному равенство, слева у которого стоит многочлен третьей степени. Применим метод интервалов для его решения.

Сначала вычисляем корни многочлена, для чего нам надо решить кубическое уравнение x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 = 0 . Имеет ли оно рациональные корни? Они могут быть лишь в числе делителей свободного члена, т.е. среди чисел ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 . Подставим их по очереди в исходное уравнение и выясним, что числа 1 , 2 и 3 будут его корнями.

Значит, многочлен x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 может быть описан в виде произведения (x − 1) · (x − 2) · (x − 3) , и неравенство x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0 может быть представлено как (x − 1) · (x − 2) · (x − 3) < 0 . С неравенством такого вида нам потом будет легче определить знаки на промежутках.

Далее выполняем оставшиеся шаги интервального метода: рисуем числовую прямую и точки на ней с координатами 1 , 2 , 3 . Они разбивают прямую на 4 промежутка, в которых нужно определить знаки. Заштрихуем промежутки с минусом, поскольку исходное неравенство имеет знак < .

Нам осталось только записать готовый ответ: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

Ответ: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

В некоторых случаях выполнять переход от неравенства r (x) − s (x) < 0 (≤ , > , ≥) к h (x) < 0 (≤ , > , ≥) , где h (x) – многочлен в степени выше 2 , нецелесообразно. Это распространяется на те случаи, когда представить r (x) − s (x) как произведение линейных двучленов и квадратных трехчленов проще, чем разложить h (x) на отдельные множители. Разберем такую задачу.

Пример 5

Условие: найдите решение неравенства (x 2 − 2 · x − 1) · (x 2 − 19) ≥ 2 · x · (x 2 − 2 · x − 1) .

Решение

Данное неравенство относится к целым. Если мы перенесем выражение из правой части влево, раскроем скобки и выполним приведение слагаемых, то получим x 4 − 4 · x 3 − 16 · x 2 + 40 · x + 19 ≥ 0 .

Решить такое неравенство непросто, поскольку придется искать корни многочлена четвертой степени. Оно не имеет ни одного рационального корня (так, 1 , − 1 , 19 или − 19 не подходят), а искать другие корни сложно. Значит, воспользоваться этим способом мы не можем.

Но есть и другие способы решения. Если мы перенесем выражения из правой части исходного неравенства в левую, то сможем выполнить вынесение за скобки общего множителя x 2 − 2 · x − 1:

(x 2 − 2 · x − 1) · (x 2 − 19) − 2 · x · (x 2 − 2 · x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 · x − 1) · (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .

Мы получили неравенство, равносильное исходному, и его решение даст нам искомый ответ. Найдем нули выражения в левой части, для чего решим квадратные уравнения x 2 − 2 · x − 1 = 0 и x 2 − 2 · x − 19 = 0 . Их корни – 1 ± 2 , 1 ± 2 5 . Переходим к равенству x - 1 + 2 · x - 1 - 2 · x - 1 + 2 5 · x - 1 - 2 5 ≥ 0 , которое можно решить методом интервалов:

Согласно рисунку, ответом будет - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Ответ: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Добавим, что иногда нет возможности найти все корни многочлена h (x) , следовательно, мы не можем представить его в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов. Тогда решить неравенство вида h (x) < 0 (≤ , > , ≥) мы не можем, значит, решить исходное рациональное неравенство тоже нельзя.

Допустим, надо решить дробно рационально неравенств вида r (x) < s (x) (≤ , > , ≥) , где r (x) и s (x) являются рациональными выражениями, x – переменной. Хотя бы одно из указанных выражений будет дробным. Алгоритм решения в этом случае будет таким:

Определяем область допустимых значений переменной x .
Переносим выражение из правой части неравенства налево, а получившееся выражение r (x) − s (x) представляем в виде дроби. При этом где p (x) и q (x) будут целыми выражениями, которые являются произведениями линейных двучленов, неразложимых квадратных трехчленов, а также степеней с натуральным показателем.
Далее решаем полученное неравенство методом интервалов.
Последним шагом является исключение точек, полученных в ходе решения, из области допустимых значений переменной x , которую мы определили в начале.

Это и есть алгоритм решения дробно рационального неравенства. Большая часть его понятна, небольшие пояснения требуются только для п. 2 . Мы перенесли выражение из правой части налево и получили r (x) − s (x) < 0 (≤ , > , ≥) , а как потом привести его к виду p (x) q (x) < 0 (≤ , > , ≥) ?

Сначала определим, всегда ли можно выполнить данное преобразование. Теоретически, такая возможность имеется всегда, поскольку в рациональную дробь можно преобразовать любое рациональное выражение. Здесь же у нас есть дробь с многочленами в числителе и знаменателе. Вспомним основную теорему алгебры и теорему Безу и определим, что любой многочлен n -ной степени, содержащий одну переменную, может быть преобразован в произведение линейных двучленов. Следовательно, в теории мы всегда можем преобразовать выражение таким образом.

На практике разложение многочленов на множители зачастую оказывается довольно трудной задачей, особенно если степень выше 4 . Если мы не сможем выполнить разложение, то не сможем и решить данное неравенство, однако в рамках школьного курса такие проблемы обычно не изучаются.

Далее нам надо решить, будет ли полученное неравенство p (x) q (x) < 0 (≤ , > , ≥) равносильным по отношению к r (x) − s (x) < 0 (≤ , > , ≥) и к исходному. Есть вероятность, что оно может оказаться и неравносильным.

Равносильность неравенства будет обеспечена тогда, когда область допустимых значений p (x) q (x) совпадет с областью значений выражения r (x) − s (x) . Тогда последний пункт инструкции по решению дробно рациональных неравенств выполнять не нужно.

Но область значений для p (x) q (x) может оказаться шире, чем у r (x) − s (x) , например, за счет сокращения дробей. Примером может быть переход от x · x - 1 3 x - 1 2 · x + 3 к x · x - 1 x + 3 . Либо это может происходить при приведении подобных слагаемых, например, здесь:

x + 5 x - 2 2 · x - x + 5 x - 2 2 · x + 1 x + 3 к 1 x + 3

Для таких случаев и добавлен последний шаг алгоритма. Выполнив его, вы избавитесь от посторонних значений переменной, которые возникают из-за расширения области допустимых значений. Возьмем несколько примеров, чтобы было более понятно, о чем идет речь.

Пример 6

Условие: найдите решения рационального равенства x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x x - 3 2 · x + 1 .

Решение

Действуем по алгоритму, указанному выше. Сначала определяем область допустимых значений. В данном случае она определяется системой неравенств x + 1 · x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 · (x + 1) ≠ 0 , решением которой будет множество (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

x x + 1 · x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 · x (x - 3) 2 · (x + 1) ≥ 0

После этого нам нужно преобразовать его так, чтобы было удобно применить метод интервалов. Первым делом приводим алгебраические дроби к наименьшему общему знаменателю (x − 3) 2 · (x + 1) :

x x + 1 · x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 · x (x - 3) 2 · (x + 1) = = x · x - 3 + 4 · x + 1 + 3 · x x - 3 2 · x + 1 = x 2 + 4 · x + 4 (x - 3) 2 · (x + 1)

Сворачиваем выражение в числителе, применяя формулу квадрата суммы:

x 2 + 4 · x + 4 x - 3 2 · x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 · x + 1

Областью допустимых значений получившегося выражения является (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) . Мы видим, что она аналогична той, что была определена для исходного равенства. Заключаем, что неравенство x + 2 2 x - 3 2 · x + 1 ≥ 0 является равносильным исходному, значит, последний шаг алгоритма нам не нужен.

Используем метод интервалов:

Видим решение { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) , которое и будет решением исходного рационального неравенства x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x (x - 3) 2 · (x + 1) .

Ответ: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

Пример 7

Условие: вычислите решение x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 · x + 2 x 2 - 1 .

Решение

Определяем область допустимых значений. В случае с этим неравенством она будет равна всем действительным числам, кроме − 2 , − 1 , 0 и 1 .

Переносим выражения из правой части в левую:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 > 0

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0

Учитывая получившийся результат, запишем:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 (x + 1) · x - 1 = = - x - 1 (x + 1) · x - 1 = - x + 1 (x + 1) · x - 1 = - 1 x - 1

Для выражения - 1 x - 1 областью допустимых значений будет множество всех действительных чисел, за исключением единицы. Мы видим, что область значений расширилась: в нее были добавлены − 2 , − 1 и 0 . Значит, нам нужно выполнить последний шаг алгоритма.

Поскольку мы пришли к неравенству - 1 x - 1 > 0 , можем записать равносильное ему 1 x - 1 < 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .

Исключаем точки, которые не входят в область допустимых значений исходного равенства. Нам надо исключить из (− ∞ , 1) числа − 2 , − 1 и 0 . Таким образом, решением рационального неравенства x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 · x + 2 x 2 - 1 будут значения (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

Ответ: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

В заключение приведем еще один пример задачи, в котором окончательный ответ зависит от области допустимых значений.

Пример 8

Условие: найдите решение неравенства 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 .

Решение

Область допустимых значений неравенства, заданного в условии, определяет система x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0 .

Решений у этой системы нет, поскольку

x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) · x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) · x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0

Значит, исходное равенство 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 не имеет решения, поскольку нет таких значений переменной, при которой оно имело бы смысл.

Ответ: решений нет.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств
Итоговое повторение курса алгебры 9-го класса

С помощью данного урока вы узнаете о рациональных неравенствах и их системах. Решается система рациональных неравенств с помощью эквивалентных преобразований. Рассматривается определение эквивалентности, способ замены дробно-рационального неравенства - квадратным,а также разбирается в чем отличие неравенства от уравнения и как осуществляются равносильные преобразования.

Алгебра 9 класс

Итоговое повторение курса алгебры 9-го класса

Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств.

1.1 Конспект.

1. Эквивалентные преобразования рациональных неравенств.

Решить рациональное неравенство означает – найти все его решения. В отличии от уравнения, при решении неравенства, как правило, возникает бесчисленное множество решений. Бесчисленное множество решений нельзя проверить методом подстановки. Поэтому, нужно так преобразовывать исходное неравенство, чтобы в каждой следующей строчке получалось неравенство с тем же множеством решений.

Рациональные неравенства решаются только с помощью эквивалентных или равносильных преобразований. Такие преобразования не искажают множество решений.

Определение . Рациональные неравенства называют эквивалентными , если множества их решений совпадают.

Для обозначения эквивалентности используют знак

2. Решение системы неравенств

Первое и второе неравенство – это дробно-рациональные неравенства. Методы их решения являются естественным продолжением методов решения линейных и квадратных неравенств.

Перенесем числа, стоящие в правой части, в левую с противоположным знаком.

В итоге в правой части останется 0. Это преобразование является эквивалентным. На это указывает знак

Выполним действия, которые предписывает алгебра. Вычтем «1» в первом неравенстве и «2» во втором.

3. Решение неравенства методом интервалов

1) Введем функцию. Нам нужно узнать, когда эта функция меньше 0.

2) Найдем область определения функции: в знаменателе не должен стоять 0. «2» - точка разрыва. При х=2 функция неопределенна.

3) Найдем корни функции. Функция равна 0,если в числителе стоит 0.

Поставленные точки разбивают числовую ось на три интервала – это интервалы знакопостоянства. На каждом интервале функция сохраняет знак. Определим знак на первом интервале. Подставим какое-нибудь значение. Например, 100. Ясно, что и числитель, и знаменатель больше 0. Значит и вся дробь положительна.

Определим знаки на остальных промежутках. При переходе через точку х=2 только знаменатель меняет знак. Значит, и вся дробь поменяет знак, и будет отрицательной. Проведем аналогичное рассуждение. При переходе через точку х=-3 только числитель меняет знак. Значит, дробь поменяет знак и будет положительной.

Выберем интервал соответствующий условию неравенства. Заштрихуем его и запишем в виде неравенства

4. Решение неравенства с помощью квадратичного неравенства

Важный факт.

При сравнении с 0 (в случае строгого неравенства) дробь можно заменить на произведение числителя на знаменатель или поменять числитель или знаменатель местами.

Это так, потому, что все три неравенства выполняются при условии, что u и v разного знака. Эти три неравенства эквивалентны.

Используем это факт и заменим дробно-рациональное неравенство квадратным.

Решим квадратное неравенство.

Введем квадратичную функцию. Найдем ее корни и построим эскиз ее графика.

Значит, ветви параболы вверх. Внутри интервала корней функция сохраняет знак. Она отрицательна.

Вне интервала корней функция положительна.

Решение первого неравенства:

5. Решение неравенства

Введем функцию:

Найдем ее интервалы знакопостоянства:

Для этого найдем корни и точки разрыва области определения функции. Точки разрыва выкалываем всегда. (х=3/2) Корни выкалываем в зависимости от знака неравенства. Наше неравенство строгое. Поэтому корень выкалываем.

Расставим знаки:

Запишем решение:

Закончим решение системы. Найдем пересечение множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства.

Решить систему неравенств означает найти пересечение множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства. Поэтому, решив первое и второе неравенство по отдельности нужно записать полученные результаты в одну систему.

Изобразим решение первого неравенства над осью Ох.

Решение же второго неравенства изобразим под осью.

Алгебра 9 класс

Итоговое повторение курса алгебры 9-го класса

Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств.

1.1 Конспект.

1. Эквивалентные преобразования рациональных неравенств.

Определение . Рациональные неравенства называют эквивалентными , если множества их решений совпадают.

Для обозначения эквивалентности используют знак

2. Решение системы неравенств

Перенесем числа, стоящие в правой части, в левую с противоположным знаком.

В итоге в правой части останется 0. Это преобразование является эквивалентным. На это указывает знак

Выполним действия, которые предписывает алгебра. Вычтем «1» в первом неравенстве и «2» во втором.

3. Решение неравенства методом интервалов

1) Введем функцию. Нам нужно узнать, когда эта функция меньше 0.

3) Найдем корни функции. Функция равна 0,если в числителе стоит 0.

Выберем интервал соответствующий условию неравенства. Заштрихуем его и запишем в виде неравенства

4. Решение неравенства с помощью квадратичного неравенства

Важный факт.

Используем это факт и заменим дробно-рациональное неравенство квадратным.

Решим квадратное неравенство.

Введем квадратичную функцию. Найдем ее корни и построим эскиз ее графика.

Значит, ветви параболы вверх. Внутри интервала корней функция сохраняет знак. Она отрицательна.

Вне интервала корней функция положительна.

Решение первого неравенства:

5. Решение неравенства

Введем функцию:

Найдем ее интервалы знакопостоянства:

Расставим знаки:

Запишем решение:

Изобразим решение первого неравенства над осью Ох.

С помощью данного урока вы узнаете о рациональных неравенствах и их системах. Решается система рациональных неравенств с помощью эквивалентных преобразований. Рассматривается определение эквивалентности, способ замены дробно-рационального неравенства - квадратным, а также разбирается в чем отличие неравенства от уравнения и как осуществляются равносильные преобразования.

Введение

Алгебра 9 класс

Итоговое повторение курса алгебры 9-го класса

Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств.

1.1 Конспект.

Эквивалентные преобразования рациональных неравенств

1. Эквивалентные преобразования рациональных неравенств.

Определение . Рациональные неравенства называют эквивалентными , если множества их решений совпадают.

Для обозначения эквивалентности используют знак

Решение системы неравенств. Эквивалентные преобразования системы

2. Решение системы неравенств

Перенесем числа, стоящие в правой части, в левую с противоположным знаком.

В итоге в правой части останется 0. Это преобразование является эквивалентным. На это указывает знак

Выполним действия, которые предписывает алгебра. Вычтем «1» в первом неравенстве и «2» во втором.

Решение первого неравенства методом интервалов

3. Решение неравенства методом интервалов

1) Введем функцию. Нам нужно узнать, когда эта функция меньше 0.

3) Найдем корни функции. Функция равна 0,если в числителе стоит 0.

Выберем интервал соответствующий условию неравенства. Заштрихуем его и запишем в виде неравенства

Прием сведения дробно-рационального неравенства к квадратному.

Решение первого неравенства путем сведения к квадратному

4. Решение неравенства с помощью квадратичного неравенства

Важный факт.

Используем это факт и заменим дробно-рациональное неравенство квадратным.

Решим квадратное неравенство.

Введем квадратичную функцию. Найдем ее корни и построим эскиз ее графика.

Значит, ветви параболы вверх. Внутри интервала корней функция сохраняет знак. Она отрицательна.

Вне интервала корней функция положительна.

Решение первого неравенства:

Решение второго неравенства

5. Решение неравенства

Введем функцию:

Найдем ее интервалы знакопостоянства:

Расставим знаки:

Запишем решение:

Пересечение множеств решений первого и второго неравенств. Форма записи решения

Изобразим решение первого неравенства над осью Ох.

Решение же второго неравенства изобразим под осью.

Решением системы будут те значения переменной, которые удовлетворяют как первому, так и второму неравенству. Итак, решение системы:

Заключение

Алгебра, 9 класс. Часть 1 из 2. Учебник (А. Г. Мордкович, П. В. Семенов) 2010Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник (А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.) 2010Алгебра, 9 класс (Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.) 2010Алгебра, 9 класс. Задачник (Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский, П. В. Семенов) 2008Алгебра, 9 класс (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова) 2009Алгебра, 9 класс (Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.) 2010

1.3. Дополнительные веб-ресурсы

http://slovo. ws/urok/algebra -Учебные материалы (учебники, статьи) по алгебре для 9 класса. Все учебники, указанные в списке можно посмотреть в режиме онлайн, без скачивания.

http://math-portal. ru/matematika-shkolnaya/

1.4. Сделай дома

Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник (А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.) 2010

Домашнее задание: 4.24; 4.28

Другие задания: 4.25; 4.26

Нужно скачать поурочный план по теме » Рациональные неравенства и их системы. Системы рациональных неравенств ?

Предварительные сведения

Определение 1

Неравенство вида $f(x) >(≥)g(x)$, в котором $f(x)$ и $g(x)$ будут являться целыми рациональными выражениями, называется целым рациональным неравенством.

Примерами целых рациональных неравенств являются линейные, квадратные, кубические неравенства с двумя переменными.

Определение 2

Значение $x$, при котором выполняется неравенство из определения $1$, называется корнем уравнения.

Пример решения таких неравенств:

Пример 1

Решить целое неравенство $4x+3 >38-x$.

Решение.

Упростим данное неравенство:

Получили линейное неравенство. Найдем его решение:

Ответ: $(7,∞)$.

В данной статье мы рассмотрим следующие способы решения целых рациональных неравенств.

Способ разложения на множители

Данный способ будет заключаться в следующем: Записывается уравнение вида $f(x)=g(x)$. Данное уравнение приводится к виду $φ(x)=0$ (где $φ(x)=f(x)-g(x)$). Затем функция $φ(x)$ раскладывается на множители с минимально возможными степенями. Применяется правило: Произведение многочленов равняется нулю, когда один из них равняется нулю. Далее найденные корни отмечаются на числовой прямой и строится кривая знаков. В зависимости от знака начального неравенства записывается ответ.

Приведем примеры решения этим способом:

Пример 2

Решить разложением на множители. $y^2-9

Решение.

Решим уравнение $y^2-9

Используя формулу разности квадратов, имеем

Используя правило равенства нулю произведения множителей, получим следующие корни: $3$ и $-3$.

Изобразим кривую знаков:

Так как в начальном неравенстве знак «меньше», то получаем

Ответ: $(-3,3)$.

Пример 3

Решить разложением на множители.

$x^3+3x+2x^2+6 ≥0$

Решение.

Решим следующее уравнение:

$x^3+3x+2x^2+6=0$

Вынесем за скобки общие множители из первых двух слагаемым и из последних двух

$x(x^2+3)+2(x^2+3)=0$

Вынесем общий множитель $(x^2+3)$

$(x^2+3)(x+2)=0$

Используя правило равенства нулю произведения множителей, получим:

$x+2=0 \ и \ x^2+3=0$

$x=-2$ и "корней нет"

Изобразим кривую знаков:

Так как в начальном неравенстве знак «больше или равно», то получаем

Ответ: $(-∞,-2]$.

Способ введения новой переменной

Такой способ состоит в следующем: Записывается уравнение вида $f(x)=g(x)$. Решаем его следующим образом: введем такую новую переменную, чтобы получить уравнение, способ решения которого уже известен. Его, впоследствии, решаем и возвращаемся к замене. Из нее и найдем решение первого уравнения. Далее найденные корни отмечаются на числовой прямой и строится кривая знаков. В зависимости от знака начального неравенства записывается ответ.

Приведем пример применения этого способа на примере неравенства четвертой степени:

Пример 4

Решим неравенство.

$x^4+4x^2-21 >0$

Решение.

Решим уравнение:

Сделаем следующую замену:

Пусть $x^2=u (где \ u >0)$, получаем:

Будем решать эту систему с помощью дискриминанта:

$D=16+84=100=10^2$

Уравнение имеет два корня:

$x=\frac{-4-10}{2}=-7$ и $x=\frac{-4+10}{2}=3$

Вернемся к замене:

$x^2=-7$ и $x^2=3$

Первое уравнение не имеет решений, а из второго $x=\sqrt{3}$ и $x=-\sqrt{3}$

Изобразим кривую знаков:

Так как в начальном неравенстве знак «больше», то получаем

Ответ: $(-∞,-\sqrt{3})∪(\sqrt{3},∞)$